شرح قواعد الدرس
- كثير الحدود :
كثير الحدود او البولينوم هو عبارة عن دالة فونكسيون طبيعية تخضع لشروط معين .
يكون البولينوم على الشكل التالي .
أمثال الحدود تكون اعداد حقيقية (كسور,جذور,...)
أسس المجاهيل اعداد طبيعية حصرا (0,1,2,3,4,...)
يسمى (a) أمثال الحد الرئيسي لأنه مرتبط بالمجهول صاحب اعلى اس .
و يسمى (c) الحد الثابت لأنه لا يتغير مع تغير المجهول .
تكون (n) درجة البولينوم لأنها اكبر درجة موجودة على المجهول ويرمز لها هكذا :
d[P(x)]=derP(x)=n
لا يحتوي البولينوم على :
1_مجهول بالمقام
2_مجهول على شكل معادلة مثلثية
3_مجهول على شكل لوغاريتم
يكون المجهول فقط على شكل مجهول له اس من عدد طبيعي و مضروب بعدد حقيقي .
مثال :
أي من الدوال السابقة تعبر عن بولينوم ؟
في الخيار الأول المجهول موجود في المقام و في الخيار الثاني المجهول على شكل لوغاريتم والخيار الثالث المجهول على شكل معادلة مثلثية لذلك الخيار الثاني و الخامس فقط يطابقان الشروط ويعبران عن بولينوم .
لان البولينوم هو عبارة عن دالة فونكسيون طبيعي فإن التعويض فيه مطابق للتعويض في الفونكسيون .
مثال :
- قوى المجهول :
كما اسبقنا ان في البولينوم يجب ان يكون المجهول له اس من عدد طبيعي .
مثال :
- تساوي كثيرات حدود :
عند تساوي كثيرين حدود يتساوى أمثال المجاهيل ذوات الأسس المتشابهة .
مثال :
- جمع وطرح وضرب كثيرات حدود :
كما في دوال الفونكسيون نحمع ونطرح ونضرب كثيري حدود بشكل طبيعي .
مثال :
- درجة البولينوم :
اذا كان لدينا كثيرين حدود بدرجتين مختلفتين .
d[P(x)]=m , d[Q(x)]=n
عند ضرب كثيرين الحدود ببعضهما تكون الدرجة هي جمع درجتا كثيرين الحدود .
d[P(x)xQ(x)]=m+n
عند قسمة كثيرين الحدود تكون درجة الناتج هي طرح درجة كثير الحدود الذي بالمقام من درجة كثير الحدود الذي بالبسط .
عند جمع او طرح كثيرين الحدود تكون درجة الناتج هي الدرجة الأكبر بين درجات كثيرين الحدود .
d[P(x)+Q(x)]=max{m,n}
d[P(x)-Q(x)]=max{m,n}
عند ضرب أي عدد بكثير الحدود فهذا لا يغير درجته .
عند رفع كثير الحدود او المجهول المعوض لأس فإن درجة كثير الحدود تضرب بالاس .
مثال :
لإيجاد درجة كثير الحدود نضرب اكبر اس موجود على المجهول داخل كل قوس باس القوس ونجمع النواتج .
2x4+1x3=11
d[P(x)]=11
- كثير الحدود من الدرجة الأولى والثانية :
كثير الحدود من الدرجة الأولى له معادلة ثابتة وهي :
P(x)=ax+b
وكثير الحدود من الدرجة الثانية له معادلة ثانية أيضا :
مثال :
P(x)+P(x+1)=6x+1
P(1)=?
لأن نتيجة الجمع معادلة من الدرجة الأولى ذلك يعني ان كثير الحدود من الدرجة الأولى .
ax+b+a(x+1)+b=6x+1
2ax+2b+a=6x+1
2a=6 ,a=3
2b+3=1 ,b=-1
P(x)=3x-1
P(1)=3-1=2
إذا كان السؤال على الشكل التالي :
لإيجاد الامثال المجهول نعوض مكان الاكس بعدد يضرب كثير الحدود بصفر ونكمل الحل على هذا الأساس .
- مجموع الامثال و الحد الثابت :
لإيجاد مجموع أمثال كثير الحدود نساوي ما داخل الدالة بالواحد ونعوض الناتج مكان المجهول .
مثال :
أما اذا كان السؤال على الشكل التالي :
أولا نعوض بالدالة المطلوبة واحد ونوجد الناتج ثم نساوي الناتج بما داخل الدالة الأولى و نعوض الناتج
اذا مجموع الامثال بكثير الحدود المطلوب هو 17 .
و لإيجاد الحد الثابت نساوي ما داخل الدالة بالصفر و نعوض الناتج مكان المجهول .
مثال :
اما اذا كان السؤال على الشكل التالي :
نطبق نفس الخطوات السابقة ,نعوض الصفر في الدالة المطلوبة ونساوي الناتج بما داخل الدالة الأولى و نعوض الناتج .
- قسمة كثيري الحدود :
مثال :
لإيجاد الناتج نقسم بالطريقة التالية :
أولا نقسم المجهول صاحب اكبر اس من كثير الحدود المقسوم على المجهول صاحب اكبر اس من كثير الحدود القاسم .
ثم نضرب الناتج بكثير الحدود القاسم و يكون هذا الناتج هو الحد الأول من كثير الحدود الناتج.
ثم نطرح الناتج من كثير الحدود المقسوم ونطبق نفس الخطوات السابقة على الناتج الى ان تصبح درجة المقسوم اصغر من درجة القاسم .
مرة أخرى :
أصبحت درجة القاسم اكبر من درجة المقسوم هنا تنتهي القسمة
الباقي واحد و الناتج هو B(x)
ونوجد باقي القسمة بنفس الطريقة أيضا اما اذا كان قد طلب الباقي على شكل قيمة نطبق الطرق التالية :
نساوي كثير الحدود القاسم بالصفر ونوجد الحلول ثم نعوضها بكثير الحدود المقسوم والناتج يكون هو الباقي .
مثال :
في هذا المثال لا يوجد حلول تجعل القاسم صفر لذلك نطبق الطريقة التالية :
ثم نعوض مكان كل اكس مربع 2x-5
نطبق نفس الطريقة حتى وان كانت النتيجة غير حقيقية مثلا اذا كان القاسم كالتالي :
ونكمل الحل على هذا الأساس .
اذا كان السؤال على الشكل التالي :
K(x)=؟
نلاحظ انا القاسم في العملية الأخيرة هو عبارة عن ضرب القاسمين الاولين ببعضهم .
واذا كان القاسم من الدرجة الثانية فان الباقي نكون درجته اقل بدرجة من القاسم أي من الدرجة الأولى .
K(x)=ax+b
x-1=0 >> x=1 ,x+2=0 >> x=-2
x=1 >> a+b=-1 , x=-2 >> -2a+b=2
3b=0 , b=0
a=-1
K(x)=-x
في المثال التالي أيضا نفس المنطق .
?=2x2+1=5
- طريقة هورنر :
هذه طريقة لقسمة كثير الحدود على كثير حدود اخر بطريقة اسهل .
مثال :
لإيجاد الناتج والباقي نتبع الخطوات التالية :
أولا نكتب أمثال المجهول في كثير الحدود المقسوم على نفس السطر ابتدأ من المجهول صاحب اكبر اس الى الحد الثابت ثم نوجد العدد الذي يساوي القاسم بالصفر ونحتفظ فيه .
ثم نضرب القيمة التي تعدم المقام بأمثال المجهول صاحب اكبر اس ونجمع الناتج بأمثال المجهول صاحب الدرجة الأقل بواحد وهكذا .
اذا بدأنا من اليمين يكون اول عدد هو الباقي وباقي الاعداد هي أمثال المجاهيل التي تكون مرتبة أسسها بشكل تصاعدي من اكس اس صفر و هكذا .
