بحث المعادلات من الدرجة الأولى

شرح قواعد الدرس

  • المعادلات من الدرجة الأولى :

المعادلات من الدرجة الأولى هي معادلات يكون أس المجهول فيها واحد و تسمى أيضا معادلة خطية ,تكون القاعدة العامة الخاصة بها كالتالي :

في مثل هذه المعادلات نوجد قيمة المجهول عن طريق تركه على طرف المعادلة ونقل المعلوم الى الطرف الاخر من المعادلة ومن ثمة نقسم على أمثال المجهول .

يجب ان لا ننسى انه عند نقل المعلوم من طرف الى اخر فان إشارته تتغير .

مثال :

 

  • خاصية التناسب :

اذا كان طرف من طرفي المعادلة او الطرفين مكون من كسر فإننا نضرب الطرفين بالوسطين ونساويهم ببعضهم .

مثال :

 

  • المعادلات النسبية :

هي المعادلات المشكلة من اكثر من كسر .

مثال :

في هذه الحالة نوحد المقامات ثم نتجاهلها ونكمل باقي خطوات الحل .

  • الحلول المقبولة للمعادلات :

اذا كان لدينا المعادلة الاتية :

فإن طريقة حل هذه المعادلة هي ان نساوي كل قوس على حدا بالصفر, سينتج من ذلك عددان يشكلان مجموعة الحلول .

مجموعة الحلول = {2,4}

في هذه الحالة تكون كل الحلول مقبولة, لكن اذا وجد كسر وكان في مقامه مجهول يجب ان نستثني القيمة التي تجعل المقام صفر من مجموعة الحلول .

مثال :

في هذه الحالة يجب ان ندرك من النظرة الأولى أن القيمة المحظورة هي 3 لأنها ستجعل المقام يساوي الصفر .

نقوم بحل المعادلة أولا بتبسيط الكسر .

ينتج ان مجموعة الحلول مكونة من الرقم 3 فقط لكن لقد قررنا ان الرقم 3 هو رقم محظور لذلك مجموعة الحلول تبقى فارغة او فاي .

أي انه لا يوجد حل لهذه المعادلة .

  • معادلات الدرجة الأولى ذات المجهولين :

مثال :

أبسط طريقة لحل هذه المعادلات هي عن طريق التخلص من واحد من المجاهيل وإيجاد الأخر

تطبيقا على هذا المثال نضرب المعادلة الثانية ب 2 ونجمعها مع المعادلة الأولى ونوجد المجهول a .

الان نعوض الa بواحدة من المعادلتين لإيجاد الb .

إذا كانت المعادلات على الشكل التالي :

نوحد بسوط مجهول من المجهولين ثم نطرح المعادلتين للتخلص منه ويبقى لدينا مجهول واحد نوجده بطريقة طبيعية .

في هذا المثال بسوط الكسور التي تحوي  أكس موحدة يبقى ان نطرح المعادلتين .

  • تساوي معادلتين خطيات :

اذا كان لدينا المعادلة التالية :

وكانت مجموعة الحلول هي R فإن a=c , b=d .

أما إذا كانت مجموعة الحلول فاي فإن a=c , وال b  لا تساوي الd .

مثال :

  • خواص معادلات الدرجة الأولى ذات المجهولين :

إذا كانت مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلة تحوي عدد لا نهائي من الحلول :

فإنها تحقق التناسب التالي :

إذا كانت مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلة لا تحوي أي حلول :

فإنها تحقق التناسب التالي :

إذا كانت مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلة تحوي حل واحد فقط :

فإنها تحقق التناسب التالي :

مثال :

  • إفادة المجهول بمجهول :

إذا كان لدينا السؤال التالي :

أولا ننقل الحدود التي لا تحوي واي الى  طرف المعادلة ويكون الطرف الاخر الحدود المرتبطة بالواي .

ثم نأخذ قوس الواي .

ثم نقسم الطرفين على أمثال الواي .

امثلة محلولة :

مثال عن معادلات الدرجة الأولى :

مثال عن خاصية التناسب :

مثال عن المعادلات النسبية :

مثال عن الحلول المقبولة للمعادلات :

مثال عن معادلات الدرجة الأولى ذات المجهولين :

مثال عن تساوي معادلتين خطيات :

مثال عن خواص معادلات الدرجة الأولى ذات المجهولبن :

مثال عن إفادة المجهول بمجهول :