بحث اللوغاريتم

شرح قواعد الدرس

  • اللوغاريتم :

اللوغاريتم هو معكوس الإفادة الاسية .

يتم التعبير عن هذه الإفادة بلوغاريتم الy بالنسبة للأساس a .

مثال :

مثال :

  • خواص اللوغاريتم :

اذا تساوا اللوغاريتم مع أساسه تكون نتيجته واحد .

لوغاريتم الواحد يساوي الصفر .

اس اللوغاريتم يتحول الى ضرب اللوغاريتم و اس الأساس يتحول الى قسمة اللوغاريتم .

مثال :

  • اللوغاريتم العشري :

اللوغاريتم العشري هو اللوغاريتم الذي يكون أساسه عشرة ولا يكتب الأساس .

مثال :

  • اللوغاريتم الطبيعي :

اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم الذي يكون أساسه العدد الطبيعي e .

مثال :

  • جمع و طرح اللوغاريتم :

اذا كان أساس اللوغاريتم نفسه يكون الجمع هو ضرب اللوغاريتم و الطرح هو قسمة اللوغاريتم .

مثال :

  • تغيير الأساس :

بإمكاننا تغيير أساس اللوغاريتم بالطريقة التالية :

مثال :

هذه الطريقة تفيد بحل النوع التالي من الأسئلة :

وتكون عن طريق تحول أساس كل لوغاريتم الى العشرة .

لكن يوجد طريقة مختصرة اكثر وتعطي نفس النتيجة .

الطريقة هي ان نحول كل لوغاريتم و أساس الى عدد اولي و نعاملهم وكأنهم كسور .

ثم يكون البسط هو اللوغاريتم والمقام هو الأساس دون ان ننسى الامثال التي اوجدناها .

  • تبديل اللوغاريتم بالأساس :

اذا اردنا ان نبدل بين اللوغاريتم والاساس فإننا نقلب الإفادة كالتالي :

مثال :

  • اللوغاريتم بالاس :

اذا كان اس أي عدد لوغاريتم يمكننا التبديل بين قيمة اللوغاريتم و هذا العدد .

مثال :

  • مجموعة التعريف :

لإيجاد مجموعة التعريف الأكثر شمولية للوغاريتم يجب الانتباه الى النقاط التالية :

مثال :

اوجد مجموعة التعريف الأكثر شمولية للدالة التالية  :

  • التحويل من دالة اسية الى لوغاريتم :

لان اللوغاريتم هو معكوس الاس فإن معكوس الدالة الاسية هو الدالة اللوغاريتمية .

لإيجاد معكوس الدالة أولا نبدل الدالة ب y .

ثم نترك الحد ذات الاس لوحدها وننقل باقي الحدود الى الطرف الاخر .

نأخذ لوغاريتم الطرفين و يكون الأساس نفس أساس الحد ذات الاس .

ثم نبدل بين ال x وال y ونبدل الy بالدالة العكسية .

مثال :

  • اللوغاريتم المساوي للصفر والواحد :

اذا كان اللوغاريتم يساوي الصفر هذا يعني ان داخل اللوغاريتم يساوي الواحد .

واذا كان اللوغاريتم يساوي الواحد هذا يعني ان ما داخل اللوغاريتم يساوي أساس اللوغاريتم .

مثال :

  • تبديل المتغير :

في بعض المعادلات التي تحتوي على لوغاريتم نحتاج الى ان نرمز للوغاريتم بمجهول اخر لتسهيل الحل .

مثال :

في بعض الأحيان يكون اللوغاريتم على شكل الاس ويكون الأساس يساوي ما داخل اللوغاريتم .

في هذه الحالة نأخذ لوغاريتم الطرفين والاساس يكون نفس أساس اللوغاريتم الموجود .

مثال :

  • مقارنة اللوغاريتم :

لمقارنة اللوغاريتم يجب ان يكون الأساس متساوي .

اذا كان الأساس اكبر من الواحد يكون اللوغاريتم الذي داخله اكبر هو الأكبر .

واذا كان الأساس بين الصفر و الواحد يكون اللوغاريتم الذي داخله اكبر هو الأصغر .

مثال :

مثال :

  • جرافيك اللوغاريتم :

جرافيك اللوغاريتم يكون على شكل متصاعد يبدأ من نقطة عند اللانهاية ويثبت عند نقطة عند اللانهاية .

النقطة التي يبدأ منها اللوغاريتم هي القيمة التي تجعل ما داخل اللوغاريتم صفر .

ونوجد أساس اللوغاريتم عن طريق تعويض القيمة التي تجعل قيمة اللوغاريتم واحد داخل اللوغاريتم و الناتج يكون أساس اللوغاريتم .

مثال :

امثلة محلولة :

امثلة عامة :

مثال 1 :

مثال 2 :

مثال 3 :

مثال 4 :

مثال 5 :

مثال 6 :

مثال 7 :

مثال 8 :

مثال 9 :

مثال 10 :