بحث النهايات

شرح قواعد الدرس

  • تعريف النهايات :

في النهايات أي عدد اس زائد يعني العدد من اليمين او اكبر من العدد نفسه بفواصل قليلة واذا كان الاس ناقص يعني العدد من اليسار او اصغر من العدد بقليل .

مثال :

نهاية العدد من اليمين او اليسار تكتب على الشكل التالي :

لا يوجد للعدد نهاية الى اذا كان نهايته من اليمين و اليسار متساوية .

في النهايات السابقة لدينا x تسعى الى a .

اذا كانت نتيجة النهاية عند المجهول الذي يسعى الى عدد في دالة تساوي تعويض هذا العدد في الدالة فإن هذه الدالة مستمرة .

وعلى الجرافيك يجب ان يكون رسم الدالة مستمر دون انقطاع عند نقطة حتى تكون هذه الدالة مستمرة عند هذه النقطة .

مثال :

  • نهاية البولينوم :

البولينوم دائما له نهاية و مستمرو لإيجاد نهاية البولينوم عندما يكون المجهول يسعى الى عدد ما نعوض هذا العدد مكان المجهول .

مثال :

  • نهاية الدالة الكسرية :

اذا كان لدينا الدالة التالية :

في هذه الحالة تكون القيمة التي تجعل المقام صفر هي النقطة الحرجة .

الدالة الكسرية لها نهاية و مستمرة في كل النقاط ما عدا النقطة الحرجة و نوجد النهاية عن طريق التعويض المباشر للعدد .

اذا طلبت النهاية عند النقطة الحرجة ندرس النهاية من اليمين و اليسار .

  • القسمة على الصفر و اللانهاية :

ملاحظة :

مثال :

مثال :

  • نهاية الدالة الاسية :

اذا كانت لدينا الدالة التالية :

الدالة الاسية مستمرة عند كل النقاط ونوجد النهاية عند أي نقطة عن طريق التعويض المباشر .

مثال :

  • نهاية الدالة اللوغاريتمية :

اذا كان لدينا الدالة التالية :

دالة اللوغاريتم مستمرة دوما في المجال التي هي معرفة عليه ونوجد النهاية لنقطة من مجال التعريف عن طريق التعويض المباشر .

ملاحظة :

مثال :

  •  نهاية دالة المعادلة المثلثية :

الساين و الكوساين مستمران دوما ونوجد النهاية عند نقطة معينة عن طريق التعويض المباشر .

اما عن التانجان و الكوتانجان فهما مستمران في مجالات التعريف الخاصة بهم .

لإيجاد النهاية الدالة في نقطة خارج مجال التعريف ندرس النهاية من اليمين و اليسار .

ملاحظة :

مثال :

  • خواص النهايات :

مثال :

  • خواص اللانهاية :

مثال :

  • عدم تعيين قسمة اللانهاية على اللانهاية :

اذا كانت نتيجة النهاية عند تعويض القيمة التي يسعى المجهول اليها تساوي اللانهاية تقسيم لا نهاية فهذه حالة عدم تعيين غير مقبولة لذلك نطبق الطرق التالية :

اذا كان لدينا نهاية يسعى فيها المجهول الى اللانهاية او الناقص لانهاية و الدالة كسرية بسطها و مقامها عبارة عن بولينوم .

اذا كانت درجة البولينوم الموجود في البسط اكبر من درجة البولينوم الموجود في المقام تكون نتيجة نهاية الكسر لانهاية واشارتها حسب الإشارات الموجودة .

اذا كانت درجاتهم متساوية  تكون نتيجة اللانهاية هي قسمة أمثال المجاهيل الأكبر اسا .

واذا كانت درجة المقام اكبر من درجة البسط تكون النتيجة صفر .

اذا كان البسط او المقام ليس بولينوم فإننا نتبع الطريقة التالية لمعرفة الأكبر بينهم وإيجاد النتيجة :

مثال :

مثال :

مثال :

في هذه الحالة نخرج المجهول صاحب الاس الأكبر من تحت الجذر و نقارن الدرجة بهاذه الطريقة .

في هذا السؤال الدرجتان متساويات وهي واحد لذلك نجمع أمثال المجهول صاحب الاس واحد .

  • عدم تعيين قسمة الصفر على الصفر في البولينوم :

اذا كانت نتيجة النهاية عند تعويض القيمة التي يسعى المجهول اليها تساوي الصفر تقسيم صفر فهذه حالة عدم تعيين غير مقبولة لذلك نطبق الطريقة التالية :

في هذه الحالة نحلل البسط والمقام الى عواملهم ونبسط القيم التي تساوي الصفر عند التعويض مع بعضها .

مثال :

  • عدم تعيين قسمة الصفر على الصفر في الجذور :

اذا كانت نتيجة النهاية عند تعويض القيمة التي يسعى المجهول اليها تساوي الصفر تقسيم صفر و كان الكسر يحتوي على جذور  فهذه حالة عدم تعيين غير مقبولة لذلك :

نضرب البسط و المقام بمرافق المقام و نبسط البسط و المقام للتخلص من حالة عدم التعيين ومن ثم نعوض .

مثال :

  • عدم تعيين قسمة الصفر على صفر في المعادلات المثلثية :

اذا كانت نتيجة النهاية عند تعويض القيمة التي يسعى المجهول اليها تساوي الصفر تقسيم صفر و كان الكسر يحتوي على معادلات مثلثية  فهذه حالة عدم تعيين غير مقبولة لذلك :

يجب ان يكون المجهول يسعى الى قيمة تجعل الزاوية صفر في هذه الحالة يكون تانجان و ساين أي زاوية مساوي للزاوية نفسها .

مثال :

  • عدم تعيين اللانهاية ناقص لانهاية :

في حال تعويض العدد الذي يسعى اليه المجهول كانت النتيجة لا نهاية ناقص لانهاية تكون هذه حالة عدم تعيين لذلك نستفيد من القاعدة التالية :

مثال :

  • عدم تعيين صفر ضرب لانهاية :

في حال تعويض العدد الذي يسعى اليه المجهول كانت النتيجة صفر ضرب لانهاية تكون هذه حالة عدم تعين لذلك نطبق القاعدة التالية :

عندما يكون اكس يسعى الى اللانهاية هذا يعني ان الواحد تقسيم اكس يسعى الى الصفر .

بتطبيق هذه القاعدة نحول حالة عدم التعيين هذه الى حالة من الحالات السابقة اللانهاية على لانهاية او صفر على صفر ومن ثم تحل على أساس عدم التعيين الجديد .

مثال :

  • عدم تعيين الواحد اس لا نهاية :

في حال تعويض العدد الذي يسعى اليه المجهول كانت النتيجة واحد اس لا نهاية تكون هذه حالة عدم تعيين لذلك نطبق القاعدة التالية :

اذا كان السؤال على الشكل التالي :

و اذا لم يكن السؤال على هذا الشكل نحوله حتى يصبح على هذا الشكل ونطبق نفس القاعدة .

مثال :

  • النهاية في الدوال متعددة التعريف :

لإيجاد النهاية عند النقطة الحرجة لدالة متعددة التعريف ندرس النهاية من اليمين و اليسار و اذا كانوا متساويين تكون هذه نتيجة النهاية .

عند دراسة النهاية من اليمين نعوض في الدالة الخاصة بالمجال الاكبر من النقطة الحرجة .

و عند دراسة النهاية من اليسار نعوض في الدالة الخاصة بالمجال الأصغر من النقطة الحرجة .

مثال :

  • النهاية في القيمة المطلقة :

في القيمة المطلقة تكون القيمة التي تجعل ما داخل القيمة المطلقة صفر هي النقطة الحرجة .

عند دراسة النقطة الحرجة من اليمين نخرج ما داخل القيمة المطلقة كما هو اما عند دراسته من اليسار نخرجه مع تبديل اشارته .

اذا لم يكن السؤال مشابه للشكل السابق ننتبه الى ان العدد من اليمين اكبر من العدد نفسه و من اليسار اصغر من العدد نفسه .

مثال :

  • النهاية في دالة الإشارة :

دالة الإشارة مستمرة في كل النقاط ما عدا النقطة الحرجة ندرس النهاية من اليمين و اليسار .

مثال :

  • النهاية في دالة الخطوة :

في دالة الخطوة تعتبر كل قيمة تجعل ما داخل دالة الخطوة عددا صحيحا قيمة حرجة .

لذلك دالة الخطوة هي دالة مستمرة دوما عدا النقاط الحرجة و لمعرفة النهاية عند النقطة الحرجة ندرس النهاية من اليمين و اليسار .

مثال :

امثلة محلولة :