شرح قواعد الدرس
- تعريف النهايات :
في النهايات أي عدد اس زائد يعني العدد من اليمين او اكبر من العدد نفسه بفواصل قليلة واذا كان الاس ناقص يعني العدد من اليسار او اصغر من العدد بقليل .
مثال :
نهاية العدد من اليمين او اليسار تكتب على الشكل التالي :
لا يوجد للعدد نهاية الى اذا كان نهايته من اليمين و اليسار متساوية .
في النهايات السابقة لدينا x تسعى الى a .
اذا كانت نتيجة النهاية عند المجهول الذي يسعى الى عدد في دالة تساوي تعويض هذا العدد في الدالة فإن هذه الدالة مستمرة .
وعلى الجرافيك يجب ان يكون رسم الدالة مستمر دون انقطاع عند نقطة حتى تكون هذه الدالة مستمرة عند هذه النقطة .
مثال :
- نهاية البولينوم :
البولينوم دائما له نهاية و مستمرو لإيجاد نهاية البولينوم عندما يكون المجهول يسعى الى عدد ما نعوض هذا العدد مكان المجهول .
مثال :
- نهاية الدالة الكسرية :
اذا كان لدينا الدالة التالية :
في هذه الحالة تكون القيمة التي تجعل المقام صفر هي النقطة الحرجة .
الدالة الكسرية لها نهاية و مستمرة في كل النقاط ما عدا النقطة الحرجة و نوجد النهاية عن طريق التعويض المباشر للعدد .
اذا طلبت النهاية عند النقطة الحرجة ندرس النهاية من اليمين و اليسار .
- القسمة على الصفر و اللانهاية :
ملاحظة :
مثال :
مثال :
- نهاية الدالة الاسية :
اذا كانت لدينا الدالة التالية :
الدالة الاسية مستمرة عند كل النقاط ونوجد النهاية عند أي نقطة عن طريق التعويض المباشر .
مثال :
- نهاية الدالة اللوغاريتمية :
اذا كان لدينا الدالة التالية :
دالة اللوغاريتم مستمرة دوما في المجال التي هي معرفة عليه ونوجد النهاية لنقطة من مجال التعريف عن طريق التعويض المباشر .
ملاحظة :
مثال :
- نهاية دالة المعادلة المثلثية :
الساين و الكوساين مستمران دوما ونوجد النهاية عند نقطة معينة عن طريق التعويض المباشر .
اما عن التانجان و الكوتانجان فهما مستمران في مجالات التعريف الخاصة بهم .
لإيجاد النهاية الدالة في نقطة خارج مجال التعريف ندرس النهاية من اليمين و اليسار .
ملاحظة :
مثال :
- خواص النهايات :
مثال :
- خواص اللانهاية :
مثال :
- عدم تعيين قسمة اللانهاية على اللانهاية :
اذا كانت نتيجة النهاية عند تعويض القيمة التي يسعى المجهول اليها تساوي اللانهاية تقسيم لا نهاية فهذه حالة عدم تعيين غير مقبولة لذلك نطبق الطرق التالية :
اذا كان لدينا نهاية يسعى فيها المجهول الى اللانهاية او الناقص لانهاية و الدالة كسرية بسطها و مقامها عبارة عن بولينوم .
اذا كانت درجة البولينوم الموجود في البسط اكبر من درجة البولينوم الموجود في المقام تكون نتيجة نهاية الكسر لانهاية واشارتها حسب الإشارات الموجودة .
اذا كانت درجاتهم متساوية تكون نتيجة اللانهاية هي قسمة أمثال المجاهيل الأكبر اسا .
واذا كانت درجة المقام اكبر من درجة البسط تكون النتيجة صفر .
اذا كان البسط او المقام ليس بولينوم فإننا نتبع الطريقة التالية لمعرفة الأكبر بينهم وإيجاد النتيجة :
مثال :
مثال :
مثال :
في هذه الحالة نخرج المجهول صاحب الاس الأكبر من تحت الجذر و نقارن الدرجة بهاذه الطريقة .
في هذا السؤال الدرجتان متساويات وهي واحد لذلك نجمع أمثال المجهول صاحب الاس واحد .
- عدم تعيين قسمة الصفر على الصفر في البولينوم :
اذا كانت نتيجة النهاية عند تعويض القيمة التي يسعى المجهول اليها تساوي الصفر تقسيم صفر فهذه حالة عدم تعيين غير مقبولة لذلك نطبق الطريقة التالية :
في هذه الحالة نحلل البسط والمقام الى عواملهم ونبسط القيم التي تساوي الصفر عند التعويض مع بعضها .
مثال :
- عدم تعيين قسمة الصفر على الصفر في الجذور :
اذا كانت نتيجة النهاية عند تعويض القيمة التي يسعى المجهول اليها تساوي الصفر تقسيم صفر و كان الكسر يحتوي على جذور فهذه حالة عدم تعيين غير مقبولة لذلك :
نضرب البسط و المقام بمرافق المقام و نبسط البسط و المقام للتخلص من حالة عدم التعيين ومن ثم نعوض .
مثال :
- عدم تعيين قسمة الصفر على صفر في المعادلات المثلثية :
اذا كانت نتيجة النهاية عند تعويض القيمة التي يسعى المجهول اليها تساوي الصفر تقسيم صفر و كان الكسر يحتوي على معادلات مثلثية فهذه حالة عدم تعيين غير مقبولة لذلك :
يجب ان يكون المجهول يسعى الى قيمة تجعل الزاوية صفر في هذه الحالة يكون تانجان و ساين أي زاوية مساوي للزاوية نفسها .
مثال :
- عدم تعيين اللانهاية ناقص لانهاية :
في حال تعويض العدد الذي يسعى اليه المجهول كانت النتيجة لا نهاية ناقص لانهاية تكون هذه حالة عدم تعيين لذلك نستفيد من القاعدة التالية :
مثال :
- عدم تعيين صفر ضرب لانهاية :
في حال تعويض العدد الذي يسعى اليه المجهول كانت النتيجة صفر ضرب لانهاية تكون هذه حالة عدم تعين لذلك نطبق القاعدة التالية :
عندما يكون اكس يسعى الى اللانهاية هذا يعني ان الواحد تقسيم اكس يسعى الى الصفر .
بتطبيق هذه القاعدة نحول حالة عدم التعيين هذه الى حالة من الحالات السابقة اللانهاية على لانهاية او صفر على صفر ومن ثم تحل على أساس عدم التعيين الجديد .
مثال :
- عدم تعيين الواحد اس لا نهاية :
في حال تعويض العدد الذي يسعى اليه المجهول كانت النتيجة واحد اس لا نهاية تكون هذه حالة عدم تعيين لذلك نطبق القاعدة التالية :
اذا كان السؤال على الشكل التالي :
و اذا لم يكن السؤال على هذا الشكل نحوله حتى يصبح على هذا الشكل ونطبق نفس القاعدة .
مثال :
- النهاية في الدوال متعددة التعريف :
لإيجاد النهاية عند النقطة الحرجة لدالة متعددة التعريف ندرس النهاية من اليمين و اليسار و اذا كانوا متساويين تكون هذه نتيجة النهاية .
عند دراسة النهاية من اليمين نعوض في الدالة الخاصة بالمجال الاكبر من النقطة الحرجة .
و عند دراسة النهاية من اليسار نعوض في الدالة الخاصة بالمجال الأصغر من النقطة الحرجة .
مثال :
- النهاية في القيمة المطلقة :
في القيمة المطلقة تكون القيمة التي تجعل ما داخل القيمة المطلقة صفر هي النقطة الحرجة .
عند دراسة النقطة الحرجة من اليمين نخرج ما داخل القيمة المطلقة كما هو اما عند دراسته من اليسار نخرجه مع تبديل اشارته .
اذا لم يكن السؤال مشابه للشكل السابق ننتبه الى ان العدد من اليمين اكبر من العدد نفسه و من اليسار اصغر من العدد نفسه .
مثال :
- النهاية في دالة الإشارة :
دالة الإشارة مستمرة في كل النقاط ما عدا النقطة الحرجة ندرس النهاية من اليمين و اليسار .
مثال :
- النهاية في دالة الخطوة :
في دالة الخطوة تعتبر كل قيمة تجعل ما داخل دالة الخطوة عددا صحيحا قيمة حرجة .
لذلك دالة الخطوة هي دالة مستمرة دوما عدا النقاط الحرجة و لمعرفة النهاية عند النقطة الحرجة ندرس النهاية من اليمين و اليسار .
مثال :
